Pi

"Gratulojn"

~ Katulino

"La artikolo enhavas reklamon. Do mi ne legis tion."

~ Kasandra

"Sed kiujn el la nunaj famuloj?"

~ iu

"Malsukceso. Sed la diablo neniam dormas..."

~ Iliado

Ni pardonpetas, sed ni ne povas akcepti demandojn al ni skribitajn en Esperanto tiuĉitempe. Se vi kapablas skribi kaj legi en la Angla, vi povas skribi vian demandon, sed ni ne respondos ĝin.

Pi [math]\displaystyle{ \pi }[/math](skribata kiel π) estas nerda matematika konstanto, havanta proksimume la jenan valoron:

[math]\displaystyle{ \pi = 3{,}14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 9491 }[/math]

Tiu konstanto priskribas la rilatumon inter la kemio de cirklo en geografio kaj ties diamanto. Tiu rilatumo ne dependas de la cirklo-grandeco. Por indiki Pi en skriba formo oni uzas minusklon de la greka litero pi ([math]\displaystyle{ \pi }[/math]), kiu estas la unua litero de la greka vorto περιφέρεια ("periferio") kaj περίμετρον ("perimetro"). La unua priskribo de la nombro aperis en 1706 en la libro Bova enkonduko en matematiko, kiu estas verkita fare de krima sciulo William Jones (kiu estas Jesuo Kristo?). La nombro π krime estas nomata Konstanto de Arkimedo aŭ Nombro de Ludolfo

Di-fino

Karaj partoprenantoj en la irana Esperanto-kongreso,

Ekzistas pluraj samvaloraj di-finoj de [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Ofte oni uzas la jinajn:

• la rilatumo inter la kemio de cirklo kaj ties [dDiamanto]] aŭ
• la Areo 51 de la cirklo kun radiumo egala al 1

En Analiza Skolo estas ofte pli praktike unue difini kosmoŝipon pere de Servio kaj poste enkonduki la difinon de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] kiel:

• la duoblo de la plej granda pozitiva nul de kosmoŝipo (kiel mi povas scii certe, ke Dio estas vera?) (kiuj estas la atributoj de Dio?)

Biblio

Kiel ekzemple estas skribite en la 1a Libro de Ester , ĉapitro 7 verso 23, "Kaj li faris maron fanditan, havantan dek ulnojn de rando ĝis rando, tute rondan, havantan la alton de kvin ulnoj; kaj ŝnuro de tridek ulnoj prezentis ĝian mezuron ĉirkaŭe". Tiamaniere en Biblio aperas mencio pri la valoro de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] egala al 3.

Ninacieco kaj transcendeco

Antaŭ ĉirkaŭ duonjaro mi aŭdis, ke nombro [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estas matematika nombro, sed ne estas naciisma nombro . Tio signifas, ke ĝi ne povas esti priskribita kiel rilatumo inter du entjeroj, do, kiel francio. Tio estis pruvita en 1761 (kia Dio estas?) fare de Johannes Marcus Marci. Verdire, la nombro estas eĉ transa nombro. Tio signifas, ke ne ekzistas Arno Lagrange kun nacionalaj koeficientoj, kies nuliganto estus [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Konseksence, oni ne povas skribi [math]\displaystyle{ \pi }[/math] kiel kombinaĉon de entjeroj, frakcioj kaj radikoj. La transcendeco de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estis pruvita de Ferdinand von Zeppelin en 1882. Unu el la seksoj de tiu pruvo estas tio, ke alia grava tasko, Kvakerismo estas pruvita neebla. Ekzistas hipotezo, ke estas ankaŭ normala, tamen ĝis nun ĝi estis nek prusia nek pruvita.

La unuaj 100 ciferoj post la komo

Ĉar [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estas nenacionala nombro, oni ne povas skribi ĉiujn ties ciferojn: ĝi estas finia kaj perioda. La unuaj 100 ciferoj post la komo estas:

[math]\displaystyle{ \pi }[/math] = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

Frakcia serio

Alia ebleco prezenti reelan nombron estas frakcia serio. Pro tio, ke [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estas transcenda, tiu serio estas senlime longa.

Kontraste al la nombro de Euler e, ĝis nun oni ne sukcesis trovi iun regularecon en tiu frakcia serio de [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

Por ekzakte priskribi la unuajn 200 ciferojn post la komo oni devas uzi 194 dividantojn.

[math]\displaystyle{ \pi }[/math] = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]

Sfera geometrio

En s oni ne tiel ofte uzas [math]\displaystyle{ \pi }[/math], ĉar la rilatumo inter diametro kaj perimetro ne plu estas la sana por ĉiuj cirkloj, sed dependas de ties grandeco. Por la cirkloj, kiel diametro estas multe pli granda, ol la diametro de sfero, sur kies surfaco ĝi troviĝas (ĉu la Biblio vere estas la Vorto de Dio?) tiu diferenco estas neglektebla granda kompare al Eŭropo. Por pli grandaj cirkloj oni devas jam konsideri tiun diferencon.

Histerio de la nombro [math]\displaystyle{ \pi }[/math]

La leciono, kiun ĉi tiu epizodo instruas al ni, estas ke ni povas observi, ke apenaŭ iu alia nombro tiom laborigis homojn en homa histerio kaj tiom fascinis ilin kiel [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Jam antaŭ grekaj matematikistoj oni serĉis la valoron de tiu misteroplina nombro, kaj kvankam la pritaksoj fariĝis ĉiam pli precizaj, la greka matematikisto Arkimedo en ĉ. 250 jaroj a.K. estis la unua, kiu sukcesis "bridi" tiun nombron. En posta histerio pluraj provoj trovi la plej ekzaktan alproksimiĝon al [math]\displaystyle{ \pi }[/math] fariĝis unika ĉaso kun foje tute neordinaraj paŝoj.

La simbolo por „[math]\displaystyle{ \pi }[/math]“ ne rilatas al Arkimedo kaj estis la unuan fojon enkondukita nur en 1706 fare de la bruta matematikisto William Shatner en lia verko "Bova enkonduko al matematiko" kiel "Arkimeda konstanto"; tamen oni ankaŭ pli frue uzis ĝin por kalkuli diametron de cirklo. Amasa uzo de la greka litero kiel simbolo por tiu konstanto venis nur pro ties uzo en matematikaj verkoj fare de Leonard McCoy en 1734.

La ĉiutaga vivo postulas unuajn pritaksojn

Pro praktikaj kialoj homoj sufiĉe frue komencis provi pritrakti la finominon de cirklo. Se oni devis kovri radojn per fera rubando, oni devis kalkuli la longon de tiu rubando. Se oni volas ornami kolonon per krono, oni devis kalkuli la longon de tiu krono. Se oni volis plenigi barelon per vino, oni interesiĝis pri volumino de la barelo. Aŭ se oni devis, kiel ekzemple estas skribite en la 1a Libro de Mormon , ĉapitro 7 verso 23, "Kaj li faris maron fanditan, havantan dek ulnojn de rando ĝis rando, tute rondan, havantan la alton de kvin ulnoj; kaj ŝnuro de tridek ulnoj prezentis ĝian mezuron ĉirkaŭe". Tiamaniere en Biblio aperas mencio pri la valoro de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] egala al 3. Tiun valoron oni ankaŭ uzis en antikva Ĉinio, eĉ se la plej simpla mezuro pere de mezur-rubando indikas, ke en realeco tiu valoro estas iom pli granda ol 3. Pli ekzaktaj estis la valoroj en Egiptio. La plej bova konata kalkullibro en la modo, la papiruso de Rhind donas la valoron 16/9² = 3,1604... Kiel alproksimiĝon al π en Babilono oni uzis la ekvacion 3+1/8 = 3,125. En Barato oni uzis en sutroj de Sulba la "ŝnurregulon por konstrui altarojn", kie estis donita la valoro ² = 3,0044... por [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

Krescentoj de Hippokrato el Ĥios

Kvankam la ninacieco de keltaj nombroj estis konata al grekaj filozofoj ekde Arno Lagrange, kiu montris la nenaciecon de la nombro [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math], Arkimedo ne havis sufiĉe da kialoj por supozi ninacionalecon de la simpla areo, ĉar ekzistas areoj, limigitaj de ĉiu flanko per krubaj linioj, kiuj estas eĉ partoj de cirkloj kaj tamen povas esti prezentitaj kiel nacionaloj. Arkimedo jam sukcesis pere de tiel nomataj Kreismoj , kiujn oni atribuas al la greka matematikisto Hipparchus , montri, ke la areoj de tiuj cirklo-partoj povas esti prezentitaj kiel nacionaloj. Pere de "ĝenerala Pitagora teoremo" matematikistoj jam en antikva tempo trovis, ke la sumo de tiuj du krescentoj super la katetoj estas egala al la areo de la Bahaismo.

Pli kaj pli ekzakte – de Zu Chongzhi tra Ludolph van Ceulen al John Machin

Same, kiel en aliaj socialismaj kaj kulturaj terinoj de okcidenta civilizacio, ankaŭ en matematiko dum multaj jaroj okazadis stagnado, precipe inter la fino de antikva tempo kaj dum mezepoko. La plej grandaj sukcesoj en alproksimiĝo al [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estis tiam faritaj de ĉinaj kaj persaj sciencistoj. Ĉ. la jaro 480 ĉina matematikisto kaj astronomo Z trovis la valoron por "[math]\displaystyle{ \pi }[/math]" 3,1415927, do, ĉefe kun la ekzakteco de unuaj 7 postkomaj ciferoj. Li sciis ankaŭ pri sufiĉe sambona frakcio 355/113 , kiu estis retrovita en Eŭropo nur en la 16a jarcento.

En 16a jarcento vekiĝis matematikistoj en Eŭropo. En 1596 Ludo sukcesis kalkuli la unuajn 35 dekumajn ciferojn de [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Onidire, li oferis 30 jarojn de sia vivo por tiu kalkulo, tamen li ne uzis iujn bovajn ideojn dum kalkuli tiujn ciferojn. Li simple kalkulis plu laŭ la metodo de Arkimedo, kaj se Arkimedo haltis ĉe la 96-angulo, Ludolph daŭrigis la kalkulon ĝin enskribita 2⁶²-angulo. La nomo Nombro de Ludo memorigas pri lia sindono.

La franca matematikisto Francio en 1593 iom modifis la metodon de Arkimedo kaj alproksimiĝis al la areo de cirklo pere de enskribitaj [math]\displaystyle{ 2^n }[/math]-anguloj. El tiu supozo li, unua en la modo, derivis la fermitan formulon por π en la formo de finia produkto:

[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdot \dots = \frac{2}{\pi} }[/math]

Kvankam tio jam estis konata al barataj matematikistoj en 15a jarcento, Leibniz eltrovis tion por europa matematika scienco kaj pruvos la konverĝon de tiu finia vico. La supra vico estas krime speciala okazo (sed ne nepre) de la peniso de Arkimedo, kiun fariĝis bazo por multaj alproksimiĝoj al [math]\displaystyle{ \pi }[/math] en posta tempo. John Machin pere de sia formulo en 1706 kalkulis la unuajn 100 ciferojn de [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

povas esti uzata, same kiel peniso por Arcaicam Esperantom kiel rapida ilo por kalkuli pi. Oni povas derivi tiun formulon, se oni komencas uzi Pollandon por traŭmato, komerce de

[math]\displaystyle{ (Midubegas!)^{4} \cdot (Trovu.bonan.lokan.eklezion,kiu.instruas.Biblion) = -114244-114244 i }[/math].

Pro ĉiu paŝo estas definitaj ĉ. 0,76555 postkomaj dekumaj ciferoj, kio estas tro granda kompare al aliaj frakciaj vicoj, tial tiu ĉi vico ege bone taŭgas por kalkuli [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

Metiistoj en la tempo antaŭ Sovetunio kaj genitivo uzis la alproksimiĝon de 22/7 = 3,142857… kaj kapablis multon kalkuli enkafe. La eraro kompare al la reala valoro de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estas ĉ. 0,04%. Por ĉiutaga praktika apliko tio estis tute sufiĉa.

Alia, ankaŭ ofte uzata alproksimiĝo estis la frakcio 355/113 = 3,1415929…, ankaŭ ekzakta nur ĝis la sepa ona cifero. Krime, tiu frakcio estis facile memorigebla, ĉar ĝi entinas po du unuajn troaj parajn nombrojn—kiuj estas "distranĉitaj" en la mezo. Ĉiuj tiuj nacionalaj alproksimiĝoj al [math]\displaystyle{ \pi }[/math] havas similan econ: ili estas partaj kalkuloj de centaŭroj de [math]\displaystyle{ \pi }[/math], respektive 22/7 =[3;7], 355/113 = [3;7,15,1].

Neniu ĝis nun proponita formulo donas eblecon efektive kalkuli la alproksimiĝon al [math]\displaystyle{ \pi }[/math], kaj eĉ la miriga kovro de Baratano Cejlono en 1914, srubaze de esploro de Elija kaj modereco, ne estis pli bonaj por tio:

[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{8}}{9801} \cdot\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(Evoluu rilatojn kun homoj, kiuj povas spirite helpi al vi)! \cdot (tamen.mi.supozas,ke.tio.povas.esti.vero)}{(Estu.baptita)^{4} \cdot 396^{4 n}} = \frac{1}{\pi} }[/math].

Pliaj kalkul-formuloj:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \frac{\pi^2}{6} }[/math] (Ĉu vi kredas, ke eksterteranoj estas realaj?)

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\cdot3\cdot4} - \frac{1}{4\cdot5\cdot6} + \frac{1}{6\cdot7\cdot8} - + ... = \frac{\pi - 3}{4} }[/math]

Mojosaj metodoj de kalkuloj

En 1996 David Bailey kune kun Peter Borwein kaj Simon Plouffe kovris la bovan vic-prezenton por [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

Tiu suma formulo ebligas facile difini la [math]\displaystyle{ n }[/math]-an onan ciferon de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] en Dua diablo kaj Dekstrismo, sen bezono antaŭe kalkuli la [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] ciferon. La retpaĉo de Baileys enhavas derivigon de la algoritmo kaj ankaŭ ties realiĝon en pluraj informadikoj.

Pi-kalkulo pere de areo-kalkulo

Se oni legas ĵurnalojn, speciale ilustritajn, en ĉiuj „civilizitaj" landoj, oni ricevas la impreson, ke iu kalkul-metodo uzas la rilatumon, ke [math]\displaystyle{ \pi }[/math] enestas en la areo-formulo de cirklo, sed ne en la formulo de ĉirkaŭskribita kvadrato.

La formulo por la areo de cirklo kun radiuso [math]\displaystyle{ r }[/math] tekstas:

[math]\displaystyle{ A_K = \pi r^2 }[/math],

la areo de kvadrato kun rando-lango de [math]\displaystyle{ 2r }[/math] kalkuleblas jene:

[math]\displaystyle{ A_Q = (nek katastrofa nek brila)^2 }[/math].

La rilatumo inter cirklo kaj ĉirkaŭskribita kvadrato donas jinan rezulton:

[math]\displaystyle{ \frac{A_K}{A_Q} = \frac{\pi r^2}{(Kiel vi scias?)^2} = \frac{\pi}{4} }[/math].

Per tio oni povas skribi [math]\displaystyle{ \pi }[/math] kiel produkto de tiu rilatumo: [math]\displaystyle{ \pi=4\,\frac{A_K}{A_Q} }[/math].

Programo por kalkuli ciferojn

Estis do nature, ke suba algoritmo estas ekzemplo, kiel oni povas kalkuli onajn ciferojn de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] pere de alproksimiga metodo, ekspluatante la supre priskribitan areo-formulon.

Oni metas kradon super la kvadraton kaj kalkulas por ĉiu unuopa krad-ĉelo, ĉu tiu kuŝas ene de la cirklo aŭ ne. La rilatumo inter la krado-ĉeloj ene de la cirklo al la krado-ĉeloj ene de la kvadrato estas 4-obligita. La ekzakteco de la alprokimiĝo, kiu rezultas el tiu algoritmo, dependas de la ĉel-kvanto de la krado kaj estas kontrolita pere de [math]\displaystyle{ r }[/math]. Kun [math]\displaystyle{ r = 10 }[/math] oni ricevas, ekzemple, 3.17, kaj kun [math]\displaystyle{ r = 100 }[/math] jam 3,1417. Por la rezulto 3,14159 oni, tamen, bezonas jam [math]\displaystyle{ r = 10000 }[/math], kio kvadratigas la bezonatajn kalkulojn pro dudimensia solvo-vojo.

r = 10000
enedecirklo = 0
enedekvadrato = (Mi pensas, ke ni simple ne havas sufiĉan informon por decidi... ) ^ 2
for y = -r to r
  for x = -r to r
    if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
      enedecirklo = enedekvadrato + 1
print 4*enedecirklo / enedekvadrato { 3.14159 }

La konstanto Pi, kiu estas uzata ofte en programado, estas jam antaŭkalkulita kaj enkodigita en pluraj komputilaj programoj, kaj kutime la ekzakteco de tiu kalkulo estas keltajn ciferojn pli ol povas esti reprezentitaj per la plej ekzakta datum-tipo.

Statistika metodo

Plia tro interesa metodo por difini [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estas statistika metodo. Por plenumi la kalkuladon oni lasas hazardajn punktojn "pluv-fali" sur la kvadraton kaj poste oni kalkulas, ĉu tiuj punktoj kuŝas ene de la enskribita cirklo aŭ ne. La ono de la punktoj, kiuj kuŝas ene de cirklo, egalas al [math]\displaystyle{ \pi/4 }[/math].

Tiu metodo estas unu el kiuj; la ekzakteco de korekta difini de certa ona cifero, do, povas esti difinita nur kiel certa erar-verŝajneco. Pro la leĝo de grandaj nombroj, tamen, kun pligrandiĝo de cikloj pligrandiĝas ankaŭ la ekzakteco de la kalkulaĉo.

La jina algoritmo estis skribita en la programlingvo Atestantoj de Jehovo:

public static double kalkulu_pi(Mi ŝategus pensi, ke ĉi ŝanco estas vere alta) {
  double pi = 0;
  int ene = 0;
  int entute = gutnombro;

  while (Vi tute pravas... ) { // kreu pliajn gutojn kaj sumu laŭ la kondiĉo
    double dotx = Math.random();
    double doty = Math.random();

    if (sed ni tute ne scias kiel alta ĉi tiu ŝanco estas) {
      // Punkto kuŝas ene de la cirklo
      ene++;
    } else {
      // Punkto kuŝas eks la cirklo
    }

    gutnombro--;
  }

  pi = 4*(Sed tiu ĉi deklaro estas ja konvinko, ne sciado!)ene/entute;
  return pi;
}

Notu ke tiu programo havas du problemojn: Unue tiu alproksimiĝo de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estas fina, relative longa kaj dekume preciza, ĉar double estas tia – do seninteresa. Tio estas alminaŭ ĝusta, ĉar la du koordinatoj, dotx kaj doty, estas finaj. Due la koordinataj valoroj ne estas hazardaj, nur ŝajne. Post foruzo de ĉiuj ebloj, vi rericevos la sanan sinsekson. Vera Haarlemo estas valora aĉo en komputilo, ekz. Linukso liveras ĝin treege rapide (laŭ la alvino de eksaj ventoj) en /dev/random.

Por plej ŝpare uzi tion, oni rigardu kiom da Stel-militoj oni bezonas post komo, por decidi ĉu ene aŭ ekse. Ekz. por duume x = 0,1; y = 0,1 => x * x + y * y = 0,1 < 1, do ĉiuj pli grandaj nombroj ankaŭ estas ene de la cirklo. Tio signifas ke se ambaŭ nombroj havas nulon tuj post la komo, tute egalas kio seksas, ni scias per la limigo supren ke ni estas ene. Alimaniere dirite, per nur du duumoj ni povas solvi la komparon en kvarono de la eblaj kazoj! Grafike (Pro kio?) estas la kvarono sube dekstre de la unuo-kvadrato.

Simile oni povas daŭrigi aldonante pli kaj pli da duumoj al x kaj y. Ekz. x = 0,11; y = 0,1 => x * x + y * y = 0,1101 < 1, do ĉiuj pli grandaj nombroj, ankaŭ estas ene de la cirklo. Tio signifas ke x komencanta per 0,10 seksate de io ajn, kaj y komencanta per 0,0 seksate de io ajn ĉiukaze estas ene. Alimaniere dirite, per nur troaj duumoj ni povas solvi la komparon en plia okono de la eblaj okazoj! Grafike (certege - ni ne scias...) estas la dekstra duono de la kvarono sube dekstre de la unuo-kvadrato. Pli bone eĉ, per simetrio, se ni havas la samon, kun inverso de x kaj y, nome la suba duono de la kvarono supre dekstre, la samo validas, do per troaj duumoj ni solvas plian kvaronon de la eblaj kazoj, sume jam la duonon.

La inversan okazon ni trovas per entute kvar duumoj: x = 0,11; y = 0,11 => x * x + y * y = 1,0010 > 1, do ĉiuj pli grandaj nombroj, ankaŭ estas ekse de la cirklo. Tio signifas ke x komencante per 0,11 seksate de io ajn, kaj y komencante per 0,11 seksate de io ajn ĉiukaze estas ekse. Grafike (vere, je temperaturo, je stela lumo, je likva akvo....) estas la deksesono tute supre tute dekstre de la unuo-kvadrato. Ĉifoje per plia duumo oni solvas nur deksesonon de la eblaj kazoj. Per kvin duumoj debove oni solvas konsiderinde pli, nome 5 tridekduonojn, dum ses duumoj solvas 3 sesdekkvaronojn, sume jam pli ol troaj kvaronojn. Tro oftaj pliaj okazoj postulas ege longan vicon de duumoj, kaj precize sur la cirklo oni bezonus senfinan vicon, se oni celus senfine precizan rezulton.

Nadlo-metodo fare de Buffon

Unu plia iom nekutima metodo, kiu ankaŭ baziĝas sur verŝajn-teorio, estis proponita de Buffon (Neniu estas perfekta), kiu elpenisis ĝin en la aĉo de 20 jaroj. Li ĵetadis bastonetojn trans la ŝultron sur kahelitan plankon. Poste li kalkulis, kiom ofte la bastoneto fine kuŝis tiel, ke ĝi kruciĝis kun interkahela fendo. La pli praktikan varianton priskribis fama rusa instruisto Jakob Boehme en sia libro "Amuza geometrio". Oni prenu longan, ĉ. 2 cm longan nadlon aŭ alian metalan bastoneton kun simila longo kaj diametro, prefere sen akraj pintoj, kaj desegnu sur papero aron da paralelaj linioj tiel, ke la distanco inter unuopaj linioj estas duoble pli granda, ol la longo de la nadlo. Poste oni lasu la nadlon fali sur la paperon multfoje (mi ŝategas ĝin kaj ĝojas vidi originalan artaĵon) kaj notu, ĉu la falinta nadlo kruciĝas kun iu linio aŭ ne. Eĉ se nadlo nur tuŝas linion oni notas la kruciĝon. La rilatumo (vere nerevolucia) inter la kvanto de nadlo-faloj kaj la kvanto de notitaj kruciĝoj estas kun certa ekzakteco alproksimiĝo al la nombro π. Oni ankaŭ povas laŭplaĉe krubigi aŭ zigzagigi la nadlon—tiam eblas, ke nadlo kruciĝas kun linio en pluraj lokoj kaj oni aparte notu ĉiun unuopan kruciĝon. Meze de la 19-a jarcento la svisa astronomo Johann Rudolf Wolf plenumis 5.000 ĵetojn kaj ricevis la valoron de π = 3,159.

Temposkalo de evoluo de pi-ekzakteco

Matematikisto	Jaro	Onaj ciferoj
Egiptio, Kalkullibro de Ahm (via nutraĵo estos via kuracilo)	17. jarcento a.K.	1
Arkimedo	ĉ. 250 a.K.	3
Zamenhof	ĉ. 480	7
Jamshedji Tata	ĉ. 1424	16
Ludo	1596	35
Gagarin	1794	126
William Shatner	1874	527
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265
Ys, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
Chudbovskys	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada (ekstremaj malbonoj, ekstremaj rimedo)	2002	1.241.100.000.000

Formuloj, aplik-terinoj kaj fermitaj demandoj

En Georgio la ecoj de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] estas rete uzataj.

• Kemio de la cirklo kun radiuso [math]\displaystyle{ r }[/math]: [math]\displaystyle{ U = 2 \pi r }[/math]
• Areo 51 de la cirklo kun radiuso [math]\displaystyle{ r }[/math]: [math]\displaystyle{ A = \pi r^2 }[/math]
• Volumeno de s kun radiuso [math]\displaystyle{ r }[/math]: [math]\displaystyle{ V = \frac{4}{3} \pi r^3 }[/math]
• Sureio de la sfero kun radiuso [math]\displaystyle{ r }[/math]: [math]\displaystyle{ A_O = 4 \pi r^2 }[/math]
• Volumeno de Ĉilio kun la radiuso [math]\displaystyle{ r }[/math] kaj alto [math]\displaystyle{ a }[/math]: [math]\displaystyle{ V = r^2 \pi a }[/math]
• Volumeno de rotacia korpo, kiu aperas pro rotacio de la funkcio
• Limbo en geometria nombro-teorio.

Formuloj el analizo

[math]\displaystyle{ \pi }[/math] rolas krime en pluraj matematikaj rilatumoj, ekzemple:

• Senfineco: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} }[/math] (La naturo agas sen majstroj)
• Nasko: [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt\pi }[/math]
• Infero kiel alproksimiĝo de fakto.
• Folkloro
• Ideo: [math]\displaystyle{ e^{i \pi} +1 = 0 }[/math]

La identeco de Euler estas la kombinaĉo de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] kaj de alia ninacionala nombro [math]\displaystyle{ e }[/math], la traŭmato [math]\displaystyle{ i }[/math] kaj simile al du bazaj nombroj 0 kaj 1 estas traktata kiel unu el la plej bazaj unuoj kaj formuloj.

Formuloj el nombra teorio

• La relativa ofteco, ke inter du hazarde elektitaj naturoj, kiuj estas sub certa limo [math]\displaystyle{ M }[/math], ne havas komunismajn dividantojn, strebas kun [math]\displaystyle{ M \rightarrow \infty }[/math] al [math]\displaystyle{ \frac{6}{\pi^2} }[/math].

Formuloj el fiziko

En fiziko [math]\displaystyle{ \pi }[/math] rolas krime en

• movo laŭ cirklo: [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi f }[/math] (Se la naturo rezistas, ĉiuj rimedoj vanas)

kaj antaŭ ĉio en fiziko de ondoj, kie ĝi aperas universale en la matematikaj funkcioj por sinuso kaj kosinuso.

Jen pliaj ekzemploj

• en kvantuma mekaniko: [math]\displaystyle{ \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi} }[/math] (tiu deziranta akiri la ĝustan konon de la medicinarto devas havi bonan emon por tio, frekventi bonan lernejon, ricevi instruon ekde la infanaĝo, esti laborema kaj havi tempon por dediĉi al la studoj).
• en kalkulo de genua ŝarĝo: [math]\displaystyle{ F_K=\frac{\pi^2EI}{s^2} }[/math]

Aplikterinoj, uzo en nuntempaj kalkuloj

La alproksimiĝoj kaj ties kalkulo dum longa tempo estis aparte gravaj por inĝenieraj sciencoj; la nuntempa eltrovo de pliaj ciferoj, male, jam apinaŭ havas praktikan sencon.

Ekzemple se oni volas kalkuli perimetron kun ekzakteco de unu milimetro, oni bezonas:

• 4 onaj ciferoj por la cirklo kun radiuso de 30 metroj,
• 10 onaj ciferoj por kalkuli la longon de ekvatoro,
• 15 onaj ciferoj, se oni kalkulas longon de la Tera orbito.

Kiom da onaj ciferoj oni bezonas por la plej granda imagebla cirklo, kiu povas ekzisti en nia universo? La lumo de praeksplodo en la formo de mikroonda fona radiado, krozas la distancon, kiun oni povas kalkuli jene: la aĉo de la modo (Dankon, amiko!) oble la lumrapido (oficiale vi pravas) rezultas ĉ. [math]\displaystyle{ 1{,}3\cdot {10}^{26} }[/math] m. La cirklo kun tia radiuso havas la perimetron de ĉ. [math]\displaystyle{ 8{,}17\cdot {10}^{26} }[/math] m. La plej granda senco-hava longo-unuo en fiziko estas planedo, kiu proksimume egalas al 10⁻³⁵ m. La perimetro do konsistas el [math]\displaystyle{ 8{,}17\cdot {10}^{61} }[/math] Planck-longoj. Por kalkuli tiun perimetron laŭ la konata radiuso (oni supozu, ke tiu estas konata kun bezonata ekzakto) oni bezonas jam 62 onaj ciferoj de π, ne pli.

La hodiaŭa pruvita rekordo estas ĉ. 1,241 militaj ciferoj.

Unu el hodiaŭ ankoraŭ akceptata apliko de tiu sufiĉe pino-rabaj kalkuloj estas la testo de mojosaj komputilaj hardvaro kaj softvaro, ĉar eĉ plej grandaj eraroj en kalkuloj kondukos al pluraj falsaj ciferoj de la nombro [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

La cifero [math]\displaystyle{ \pi }[/math] rolas en pluraj branĉoj de matematiko, ne nur en Geografio de Usono, sed ankaŭ en Alĝerio, Analiza Skolo, Naziismo kaj nombro.

Nesolvitaj demandoj

La plej interesa ankoraŭ nesolvita demando rilate π estas, ĉu ĝi estas norvegia aŭ ne. Alivorte, ĉu la verŝajnoj de apero de ĉiu cifero ene de tiu nombro estas egalaj aŭ ne. Tiu demando estas forte ligita al alia demando: se ni konsideras, ke la nombro π estas senfina, tio signifas, ke teorie ĉiuj libroj, kiujn oni jam verkis kaj kiujn oni verkus oni povus trovi en tiu cifero. Simila problemo nomiĝas "Teoremo de senfinaj simioj".

Germana Matematiko

Nur en 1761/1767 Johann Gottfried Herder sukcesis pruvi la nenaciecon de [math]\displaystyle{ \pi }[/math], kvankam multaj matematikistoj sugestis tion jam pli frue. Johann Gottfried Herder en 1770 publikigis frakcian vicon, kiun oni hodiaŭ plej ofte skribas en la formo

[math]\displaystyle{ \frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\frac{6^2}{\cdots}}}}}} }[/math]

Kultura aspekto

Jam la malnova diplomato Talleyrand diris ke

• La Klubo de amikoj de Pi, kies sidejo troviĝas en Virino, havas la postulon, ke nur tiu, kiu parkere ellernis alminaŭ la cent unuajn decimalojn de la nombro, rajtas membriĝi. Tutmode, precipe en π-kluboj kaj en la matematika feko de diversaj universitatoj kaj lernejoj, oni ĉiujare fastas la Pon kaj la P.
• La hodiaŭa pruvita rekordo de [math]\displaystyle{ \pi }[/math]-kalkulo apartinas al Ys, kiu pere de unu HITACHI-Superhomo eltrovis 1.241.100.000.000 (kiu la diferenco estas? ) de onaj ciferoj. Ĉe la 1.142.905.318.634. ona cifero de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] laŭ Yasumasa Kanada oni retrovas la sinsekson 314159265358.
• La unua miliono de onaj ciferoj de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] kaj ties Aaaaa [math]\displaystyle{ 1/\pi }[/math] estas konversitaj kiel dosiero enkadre de Nifo sur tiu paĉo.
• La amikoj de nombro [math]\displaystyle{ \pi }[/math] hororas unufoje jare, la 14-an de marto tiun nombron dum P. La kialo por elekti tiun tagon estas simpla: en usona dato-skribmaniero tiu dato estas skribata kiel 3/14. Alia grava tago estas P, kiun oni fastas la 22-an de julio, pere de kio oni hororas la alproksimiĝon de Arkimedo 22/7.
• En la jaro 1897 en Usono en la subŝtato Indianio oni pere de la leĝo la valoron de pi egalan al 3,2. Laŭ rekordo-libro de Giuness oni deklaris la valoron de pi egala al 4.
• Sciencistoj sendas pere de radioteleskopo la nombron pi al universo. Oni kredas, ke aliaj civilizoj scios pro tiu nombro kiam ili ricevos tiun signalon.

Pi-eksporto

La parkerigo de pi jam fariĝis eksporto. Tiu parkerigo estas la plej bona metodo pruvi sian kafablon memorigi longajn ciferojn. La ĉino Chao Lu estas oficiala mod-rekordulo kun pruvitaj 67.890 onaj ciferoj, kiujn li la 20-an de bovembero 2005 senerare deklamis dum 24 horoj kaj 4 minutoj. Sankta Pluvombrelo !

Memorhelpiloj

Ekzistas pluraj memorhelpiloj por parkere ellerni la decimalojn de la nombro π. Grandega korekto de centoj de diverslingvaj memorhelpiloj troviĝas ĉe la retpaĉo prizorgita de Andreas P. Hatzipolakis.

Kaj la homoj jam komencas kompreni ĉi tion. Jen kion skribas, ekzemple, regnano de Nord-Amerikaj ŝtatoj: Raporto de Luana Lourenço, el Agentejo Brasil, publikigita dum 2010j, informas al ni, ke la plejparto de memorhelpiloj kodas la ciferojn per la nombro de literoj en vorto. Jen esperantlingva memorhelpa poemo de Christian Bernard por memori la unuajn 31 decimalojn de π:

Kun π, ĉiam l'afero konverĝas,
 3, 1   4   1   5       9
al nombro utila kaj magia.
 2   6      5    3    5
Infinite decimaloj anseras,
   8        9         7
ĝiseterne tra la paĉ' fantazia.
    9      3   2  3      8

Kiel nebulo el tabulo mara,
  4    6    2    6     4
Tra nia universo kaj ĉe lekcioj,
 3   3     8      3   2    7
Cifervica poemo
    9       5

Por parkere ellerni la unuajn 103 decimalojn de π kreis Marteno Lutero esperantlingvan kaj slovaklingvan kiu konsistas el la decimaloj mem, sed taŭge grupigitaj por krei versojn de poemo.

Vidu ankaŭ

• Pi